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立方方程的根的关系

来源:www.arithmetic9.com 时间:2024-07-08 21:37:49 作者:意合关系网 浏览: [手机版]

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立方方程的根的关系(1)

  在高中数学中,我们学习了各种各样的方程,其中包括一三次方程,也就是立方方程意_合_关_系_网。立方方程的一般式为$ax^3+bx^2+cx+d=0$,其中$a\neq 0$。在本文中,我们将探讨立方方程的根的关系

1. 三个实根

  当立方方程有三个实根时,我们可以通过因式分解的方求出们的关系xBNl。我们先将方程为$ax^3+bx^2+cx+d=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$,其中$x_1,x_2,x_3$为方程的三个实根。将式子展开得到:

  $$ax^3+bx^2+cx+d=a(x^3-(x_1+x_2+x_3)x^2+(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x-x_1x_2x_3)$$

  由于方程的系数与根的关系为:

$$\begin{cases}a=x_1+x_2+x_3\\b=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3\\c=-x_1x_2x_3\end{cases}$$

  因此,我们可以得到:

  $$\begin{cases}x_1+x_2+x_3=0\\x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\frac{b}{a}\\x_1x_2x_3=-\frac{d}{a}\end{cases}$$

  就是立方方程三个实根的关系式。

立方方程的根的关系(2)

2. 一个实根和两个共轭复根

  当立方方程有一个实根和两个共轭复根时,我们可以通过下面的方求出们的关系欢迎www.arithmetic9.com

设方程的一个实根为$x_1$,则可以将方程写成$(x-x_1)(ax^2+bx+c)=0$,其中$ax^2+bx+c$为二次因式。我们求出二次因式的根为$x_2$和$x_3$,则有:

  $$ax^2+bx+c=a(x-x_2)(x-x_3)$$

  将上式展开并与方程乘,得到:

$$ax^3+(b-ax_1)x^2+(c-bx_1+ax_1x_2+ax_1x_3)x-ax_1x_2x_3=0$$

  由于方程的系数与根的关系为:

  $$\begin{cases}a=x_1+x_2+x_3\\b=x_1(x_2+x_3)+x_2x_3\\c=x_1x_2x_3\end{cases}$$

  因此,我们可以得到:

  $$\begin{cases}x_1+x_2+x_3=0\\x_1(x_2+x_3)+x_2x_3=\frac{b}{a}\\x_1x_2x_3=-\frac{c}{a}\end{cases}$$

  就是立方方程一个实根和两个共轭复根的关系式。

立方方程的根的关系(3)

3. 三个共轭复根

  当立方方程有三个共轭复根时,我们可以通过下面的方求出们的关系意合关系网www.arithmetic9.com

  设方程的一个根为$x_1=a+bi$,则其两个根为$x_2=a-bi$和$x_3=-2a$。将们代入方程,得到:

$$a(x^2-2ax+a^2+b^2)=0$$

因此,$x^2-2ax+a^2+b^2=0$,即$(x-a)^2+b^2=0$。由于$b^2\geq 0$,因此方程无实根意+合+关+系+网

就是立方方程三个共轭复根的关系式。

结论

  综上所述,立方方程的根的关系可以总结为以下三种情况:

  

  三个实根:$x_1+x_2+x_3=0,x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\frac{b}{a},x_1x_2x_3=-\frac{d}{a}$

一个实根和两个共轭复根:$x_1+x_2+x_3=0,x_1(x_2+x_3)+x_2x_3=\frac{b}{a},x_1x_2x_3=-\frac{c}{a}$

  三个共轭复根:无实根,$(x-a)^2+b^2=0$

些关系式可以帮助我们更好地理解立方方程的根之间的关系,从而更好地解决关问题。

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标签:关系方程
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